he did have much to do with the bill を英語に訳すと？

一般動詞（be動詞以外のすべての動詞）に必ずついている助動詞の do は、平叙文では通常言わずに省略されます（疑問文や否定文を作るときに使います）。三人称単数や過去形などは、一般動詞を変化させていると思いがちですが、実はこの一般動詞に必ずついている助動詞 do を変化させることでその意味を出します。

平叙文でこの助動詞 do を省略せずにいうと、その動詞について「たしかに～する」というふうに、その動詞を強調する表現になります。

He did have much to do with the bill.
という文は、平叙文ですが、この助動詞 do を省略せずに過去形にして出しているので、「確かに have だった」という意味になります。

do with (something) とは、（何かを）処置する、処理する、という意味がありますので、
have much to do with the bill
というと、その請求書のことでいろいろと処理しないといけないことがある、という意味になります。

He did have much to do with the bill. は、
「その請求書について彼がいろいろと処理しなければいけないことがあったことは確かだ。」というような意味になります。