回答
実は大変複雑なのです。長くなりますが、説明させてもらいますね。
基本的には「English」とはイギリスの4地域のうちイングランドを指しますので、
そのほかの地域であるウェールズ、スコットランド、北アイルランドの人に
あなたはEnglishですねというと、とても嫌がられます。
イギリス人全体を指す時に最もよく使われるのはBritishなのですが、
イギリスというのはthe United Kingdom of Great Britain and Northern Irelandが正式名称なので、
これも厳密に言うとBritishとは、グレートブリテン島にあるイングランド、ウェールズ、スコットランドのみを指すのです。
ただ北アイルランド出身の人も、自分は民族的にはIrishだけれど、国籍としてはBritishであると言っていました。
イギリスの法令でも、国民を「British citizens」と表記しているようです。
けれどイングランド出身の人であれば、イギリス人は「English」と言うことがあるかもしれません。
またアメリカの方などはイギリス人は「English」だととらえていることも多いかもしれません。
イングランドを指すEnglishが、時にはイギリス人全体を指して使われることもあるということです。
イギリス人のコメディアンが、ウェブサイトのプルダウンで国籍を選ぶ時、まずBritishを探しても見つからず、次にEnglishもなくて、ずーっと下まで行ってやっとUKが見つかったよ!というネタをしていましたので、イギリス人も困惑しているのかもしれません。
ということで一般的には、または政治的・感情的摩擦を避けるためには「British」が良いように個人的には考えています。