I guess this means your birthday comes early. の意味は？

アリエッティがお母さんの誕生日プレゼントにと隠していたローリエの葉を
お母さんが見つけてしまった時のセリフですね。
つまり
「お誕生日に渡すつもりだったのにもうばれちゃった」
という意味が隠れています。

私が推測するに、あなたの誕生日が早く来るということなのでしょう。