Ourのbe動詞は？

日本語では単数、複数を厳密に表現しませんよね。日本語の「私たちの犬は今泳いでいます。」では、犬が１匹のときにも、２匹のときにも言いませんか。ということは、ご質問にお書きになっている二つの文は、どちらも正しいです。

Our dogs are swimming now.
Our dog is swimming now.

これも、日本の学校で教えられる翻訳主義の弊害です。日本語と英語では発想が異なるのですから、何でもいちいち翻訳をするのは、初めから無理があります。その翻訳の仕方で◯×付けらるのは、本当に残念です。

「Ourのbe動詞は？」という見出しは謎です。「Our」は形容詞なので、動詞ともbe動詞とも関係ないです。

「dogs」は複数だから「are」、「dog」は単数だから「is」、という解釈は正しい。

「Our」は代名詞ではない。「We」は代名詞です。