回答
こんにちは。
助動詞の shall は、日本語でいうと、「いたしましょう」というような、ちょっと丁寧で奥ゆかしい響きのあることばです。綺麗な表現ですが、現在の日常会話では、特定の状況以外ではほとんど使われることがありません。
「自ら人を誘うときには使わず、一緒に何かを決めようとしている状況で、相手に丁寧に提案する時に使われる」というのは、全くその通りだと思います。
日本語でも、相手について「あなたは散歩をいたしましょう。」とは言えないのと同じで、主語には必ず私か、私を含む私たち、が使われます。
Can I make some tea for you? / Shall I make some tea for you?
How about taking a break now? / Shall we take a break now?
Will we meet again soon? / Shall we meet again soon?
どの表現も可能ですが、shall を使った表現の方は、とても丁寧で、相手をおもんばかった控え目な感じになります。
あまり使われませんが、場面によっては使えば効果があるかもしれません。
現在でも shall が使われる唯一の場面は、規則などの表記です。
The amount of the penalty shall be determined in accordance with the regulations.
The payment shall not exceed two hundred dollars.
また話し言葉で使われる恐らく唯一の場面は、こんな時です。
A: Tom said he would bring his boyfriend to the party this weekend.（トムさぁ、この週末のパーティに、彼氏連れてくるって言ってたよ。）
B: We shall see...（本当かなぁ。）
この「本当かなぁ」の We shall see... は、確証はないが様子や成り行きを見てみよう、という意味で言っています。We shall see... は、決まり文句になっています。