TendrilとMoustache の意味は？

英文の方は他の方が回答されているので、私からは髭の文化について書きますね。

西洋、西アジア、中国などでは、それぞれの宗教的理由・文化的理由から髭を生やすことを推奨されてきました。
西洋圏ではまず軍人がその権威の象徴として生やしました。1900年代に入ると、成人男性のお洒落として髭をさまざまな形に整えることが大流行し、寝ている時に付ける髭カバー（小さなマスクのようなもの）などもありました。髭カバーは「名探偵ポワロ」などで、ポワロが就寝中に付けているシーンなどを見ることができます。
このように、「髭」は彼らの文化の重要な一部であり、比喩表現などにも使われます。

Tendril は植物の蔓のように巻いた髭のスタイルです。以下のリンクの4番目になります。
https://beardstyle.net/fu-manchu-mustache/

Moustache は日本語で言うところの「口髭」ですが、様々な種類があります。
https://www.esquire.com/style/grooming/g2890/mustache-styles-for-men/

最後に、以下のリンクは、今年のトレンドの髭だそうです。髭のスタイルの名前だけでいろいろありますね。
https://stylesatlife.com/articles/beard-styles/

最後の質問に答えていませんでした。特別な意味を持っていません。

tendril は植物の巻きひげで、他のものに巻き付いて上に登って行ったり、体を支えようとする植物の器官です。ブドウ、カボチャなどが巻きひげを使います。
参考 https://youtu.be/n3MAOIBOWgE

最初の文はそれを比喩的に使っていて、「ニューヨーク支部（支社）は、取るに足らない巻きひげだ」と、根、茎、葉のように大事ではないように言っています。本当は巻きひげも、その植物にとって大切なんでしょうけど。

二番目は、「ひねり上げられた口ひげ不要」ということで、「誰でも歓迎します」、「誰でも出来ます」というのを、面白くした表現です。
参考 https://youtu.be/aQo3CVRobgI