What I like to do～の後ろに続く文章
ネイティブが話す動画で、こんな表現を見つけました。
これは文法として正しいのでしょうか？
（ネイティブの方なので正しいはずなのですが理解できず、、）
①What I like to do is I like to take～.
②What I like to do is they're normally pretty engaged～.
①は、What I like to do is that I like take～. のthatが省略されたのかな？と思ったのですが（にしてもI likeが被っているのが気になる）、
②に至っては前後で主語が違うので全然わかりません。
回答
この人は、言いかけて、途中で文を変えています。この後に、自分がしたいことの説明が続くのでしょう。本来なら、
Here is what I’d like to do.
I’d like to do this.
のように、いったん文を終えて、新しい文で説明を始めれば良いところを、
What I like to do is…
と言っています。頭の中であらかじめ文を組み立てずに喋り始めると、このようなことが起きやすいです。でも、聞いている人は十分に理解できます。日本語でもそういうことがありますよね。
すべての人が常に文法的に正しい言葉使いをしているわけではありません。話し言葉だけでなくて、書く文章も、人によって教養の差があって、説明が下手だったり、ときどき文法的なエラーがあります。ネイティブだから正しいはず、というのは思い込みです。しかし、文法が間違っていても、その状況や文脈から意味が伝わります。それが日常です。
ご質問の文をあえて日本語に訳すなら、「私がしたいのはですね、えっと、彼らは…」のような感じです。英語を学習する上では、無視して構わないことです。