Why not go out for a walk?

twinverseさん、
省略表現なのですね。色々と詳しく教えてくださり、ありがとうございます。

①　Why not go out for a walk?
②　Why don't you go out for a walk?

上記の①と②は基本的に同じ意味なので、①は②の省略表現であるということになります。

次のように使い分けるそうです:

[以下引用]

Why not と why don’t you の違い
３つ目に紹介した why not〜 は、Why don’t you~ と大体は同じ意味ですが、微妙に違うニュアンスがあります。Why not ~ と why don’t you~ 両方の使い方を確認してください。

Why not ~？
why not は、一般的な提案などをする時に使います。広告などでよく使われます。
not のあとには動詞がきます。
例文
Why not take a break?
休憩をとったらどうだい？
Why not treat yourself to a meal at the Icon Restaurant?
自分へのご褒美に有名なレストランで食事したら？

Why don’t you〜?
一般的な提案をする why not~に対し、why don’t you~ は、もっと具体的な提案をする時に使います。
例文
You look really tired. Why don’t you take some time out and rest?
すごく疲れてるようだね。ちょっと中断して休んだら？
It’s getting late. Why don’t we stop now and work on this tomorrow?
遅くなってきたから、もう止めて、残りは明日やらない？
https://sandwicheikaiwa.com/podcast/podcast94/