be affected by と be affected with は違いがあるのでしょうか？

ニュアンスの違いがあります！
“be affected with"は確かに病気を「患う」という意味のときによく使われますが、”be affected by”も”be affected with"もどちらも「影響を受ける」という意味があります。
“by”と”with”の意味の違いに注目をするとわかりやすいです。

“by”は「〜によって」という意味で、何かによって動作を受けた時に使われる表現です。”with”はそれ自体で病気に「かかっていて」という意味があり、さらに「ともに」「一緒に」という同時に存在するようなニュアンスを持った前置詞です。
なので、例えば「台風の影響を受けた」だと、台風から作用を受けているので”be affected by”です。「心の痛みの影響を受けた」だと、作用と受けた、または痛みとともにいること、どちらも考えられるので"be affected by”でも”be affected with"どちらでも問題ありません。
【例】
Our town was affected by a great storm.
（私たちの街はひどい台風に見舞われた）

He was greatly affected by/with terrible grief.
（彼はすさまじい悲しみに影響されていた／苛まれていた）

以上、少しでもご参考になれば幸いです！