dead の意味は？

wouldn't be caught deadで「死んでも嫌だ」という表現です。

I wouldn't be caught dead in that store.なら
「あの店には死んでも行きたくない」くらいの意味でしょうか。

もし
I wouldn't be caught dead in that shirt.なら
「あんなシャツは死んでも着たくない」となります。

直訳的には、万が一にもそんな場所にいたりそんな服を着て死んでいるところを見つかりたくない、つまりそれほど嫌だ、ということです。