neither とnor のreplyでの使用方法

意味としては同じような内容です。どんな問題集をお使いか分かりませんので一般的な話をすると、文章の前後関係や場にそぐっているかどうかの違いです。
体感的に and nor do I より and neither do I の方が現代文としてより多く使われているように思います。しかし、時代設定や場の雰囲気や、話者と聞き手の関係によっては and nor do I を使用している可能性もあるという話です。

Acky519　様
ありがとうございます！！
ということは、上の設問だと「neither, norのどっちでもよい」
と解釈して良いでしょうか？

nor は接続詞だけではなく、副詞としての働きもあります。その際は主にand nor の形を取ります。

My mom doesn’t do it, and nor do I.
母はそんなことしないし、私もしない。

のように訳します。