they both に続く目的語は複数形ですか？

「they both」に関係なく、その目的語が指している物が複数なら複数形、単数なら単数形にします。

(1)
They both ate a banana.

上の文は、AさんとBさんがバナナを１本ずつ食べたと伝えたいときに使います。

(2)
They both ate bananas.

これは、本数に関係なく、二人ともバナナを食べたことを伝えたいときに使います。Aさんは１本食べて、Bさんは３本食べたかもしれません。その本数は重要ではなく、表現されていません。

ご質問の文は、(1) と同じ形です。

If they both hit a bases-loaded homer, the game would overturn.

A選手がスリーランホームランを打って４点追加、B選手もスリーランホームランを打って４点追加すれば、８点追加になって、試合はひっくり返る、つまり逆転できると言っています。

もしこれを、

If they both hit bases-loaded homers, the game would overturn.

としても、文法的には正しいです。ただし、２人の選手が、それぞれ何本のスリーランホームランを打てばいいのかは表現されていません。その情報は重要ではないということです。

実際に野球を観戦している状況では、「１人１本ずつで合計８点取れば逆転する」ということはすぐに分かりますから、こういう細かい表現の違いを気にする人はいません。なので、どちらを使ってもいいです。しかし、数字を気にするような場面には、(1) を使った方がいいでしょう。