回答
こんにちは。
長々とした説明でわかりにくくてすみません！
端的に説明すると、
try to do something = 究極には try する、ということが言いたくて不定詞を選んでいるので、日本語のニュアンスとすれば、「（何かすることに）努める、努力する（でもそのdo somethingを実際にやるか、できるか、というところには言及していない、とにかく努力する）」という意味になります。
try doing something = 究極には do something する、ということが言いたくて動名詞を選んでいるので、日本語のニュアンスとすれば、「やってみる（この場合には実際にdo somethingを行うことになります）」という意味になります。
We should try to look at this problem from a different perspective. と言えば、私たちは、この問題を違う角度から検討することについて、（そういう違う角度からの検討を実際にするかどうかは置いておいて少なくとも）そういう努力をした方がいいんじゃないでしょうか。という感じです。
We should try looking at this problem from a different perspective. と言えば、私たちは、この問題を違う角度から検討してみた方がいいんじゃないでしょうか。という感じで、実際に違う角度から問題について検討しましょう、と言っています。
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I tried to call you yesterday, but I was so busy and couldn't even touch my phone!
昨日ね、あなたに電話しなきゃってずっと思ってたんだけどね、もうとにかく忙しくて、電話に手を掛けることすらできなかったのよ。（結局は電話してない）
I tried calling you yesterday, but you didn't answer my calls!
昨日ね、あなたに電話しようとしてたんだけどね、あなた電話に全然出なかったじゃない。（結局電話はしている）
I will try to fix this problem.
この問題の解決を試みてみます。（実際に解決するか、できるかについては言及していない）
I will try fixing this problem.
この問題を解決してみます。（実際に解決を試みると言っている。）
いかがでしょうか。
こんにちは。
＜原文＞
Maybe we should try looking at this problem from a different perspective.
この文がなぜ try to look ではなく try looking となっていて、どう意味が違うのか、ということですね。
try to look の to look は、〜すること、という不定詞の名詞的用法です。ここで本当に言いたいことは try したということですので、意味的には「〜しようと努めた、努力した」という感じになります。また、不定詞にはこれから起こることというニュアンスもありますので、その動作を本当にやるか・やったか、ということよりも、その動作をすることがどうしたのか（try, remember, start, stopなど）というところにウェイトがあります。
try looking の looking は動名詞です。動名詞も日本語では〜することという意味だと説明されますが、不定詞の名詞的用法との違いは、それが不定詞による付け足しではなく、動名詞としてそれが表す行動にウェイトがあります。ですので、try -ing は意味的には「〜してみる」という感じになります。また、動名詞には実際にやること、または実際にやったことというニュアンスもありますので、その動作を本当にやるか・やったかということ自体にウェイトがありますから、その動作をtryするのかrememberするのかstartするのかstopするのかなどということは二の次ということになります。
ということは、
Maybe we should try looking at this problem from a different perspective.
ちょっとこの問題は違う角度からみて見たほうがいいんじゃないかな。
Maybe we should try to look at this problem from a different perspective.
ちょっとこの問題を違う角度から見るように努めたほうがいいんじゃないかな。
話し言葉で、try doing のことを try and do ということもあります。
Maybe we should try and look at this problem from a different perspective.
意味はtry doing と同じで、やってみるという意味です。
いかがでしょうか。