回答
What are you doing tomorrow? という聞き方は、明日あなたがやることになる事は何ですか、明日あなたは何をやることになるのですか、という、自分の意志で何かをやるというよりは、成り行きで明日はそれをやることになる、というようなことについて尋ねる言い方になります。つまり、主語である you の意志よりも、you がする（成り行きとなる）行動に焦点が当たっています。
例えば、漠然と「明日はあなたどうしてるの？」というような予定の聞き方の場合に使います。
A: What are you doing tomorrow?
B: I don't know... no specific plan. You?
A: I'm going to see a movie tomorrow. Do you want to come with me?
B: Sure, why not!
What will you do tomorrow? という聞き方は、未来であるともに意志を表す助動詞の will を使っているので、明日あなたは（自分の意志でもって）何をするつもりなのか、ということについて尋ねる言い方になります。つまり、主語である you が明日する行動が you の明確な意志を伴って行われることを想定しています。
例えば、何かの状況で明日どうしても何かをせざるを得ない時の聞き方の場合に使います。
A: Tomorrow is my ceremony, and my dress isn't finished yet.
B: What will you do tomorrow, then?
A: I'm going to have to borrow one from my friend, I guess.