"Do you not want to ..."←この用法は文法的には何ですか？

Do you not want to go there? と Don't you not want to go there?
は言い方が違うだけで意味は同じです。
英語の質問文は、肯定文の助動詞もしくはbe動詞を主語の前に持ってくることでできます。
You (do) want to go there.（肯定文には do という助動詞が隠れています。）
You (do) not want to go there. → Do you not want to go there?
= You (don't) want to go there. → Don't you want to go there?
あなたはそこへ行きたくないのですか？という問いです。
意味的に「そこへ行きたくないの？」とたずねる、ということは、「あなたが〜したくないというのは意外だ」「あなたが〜したいと思ってたけど」ということを含むことになります。

Why don't you not want to go there?
直訳すると、なぜあなたはそこへ行きたくないのですか？ですが、
これは、前述の Don't you want ~? Do you not want ~? に更に Why をつけて
→もちろんあなたはそこへ行きたいのでしょう。
→そこへ行けばいいんじゃないですか？
ということを含んでいる、ということで、英語の表現で
Why don't you 〜？と言うと「〜すればいいんじゃないですか？」「〜することにしましょうよ。」という提案の表現となります。