文法的にどこが違いますか？

コンマの前までは「祖父母に育てられたきたので」という受身なので、Having raised ではなく
Having been raised とする必要があります。

コンマの前までを独立した文にして、次の２文を比較するとわかりやすいかもしれません。
　She has raised by my grandparents.
　She has been raised by my grandparents.
正しく「彼女は祖父母に育てられてきた」と受身になるのは、後者です。

また、Mayhemさんのおっしゃる通り、understand → understands です。
ご参考になれば幸いです。

understand は、正しくは understands です。 Jill が主語となる現在についての文章ですので、三単現の s がつくと思います。