回答
Can you call me Emi? は質問形で「〜してくれる？」というくだけたニュアンスなので、お願い、もしくは、「ねぇ、ちょっと〜してくれない？」というちょっと相手を正すようなニュアンスになります。
同じ can でも、質問形でなく普通の文として
You can call me Emi. であれば、「エミって呼んでくれていいよ。」「エミって呼んでね。」という感じになります。
Please call me Emi. でも同じような意味ですが、please がついていますがこれは基本的に命令文を丁寧にした言い方なので、「エミと呼んでください。」というちょっとかしこまった感じになります。
ちなみに、You can call me ( ). や Please call me ( ). は、普通はその人のあだ名など、正式な名前と違う場合に使います。
Hi, I'm Michael. You can call me Mikey.
Good to meet you. My name is Elizabeth. Please call me Beth.
という感じです。
この他に、上司や先生など、通常はfamily name で呼ぶ相手が、親しさを醸し出すために「下の名前で呼んでいいよ」というときにも使われます。
Emi: Nice to meet you, Ms. Ford.
Ms. Ford: Oh no no, please call me Beth.
Emi: Thank you, Beth.
下の名前で呼んでいいよ、と言われた場合には、Thank you, ----. と言って親しさを許してもらったことに感謝する答えをします。
Emiが正式な名前なのであれば、友達が相手であれば、
Hi, I'm Emi. Nice to meet you.
などと言うのが自然です。
なお、Emi は英語では Amy（エイミィ）と聞き取られることが多いと思いますので、これからも会うことになる人でちゃんと名前を覚えてほしいと思ったら、
Hi, I'm Emi, it's E-M-I（スペルを言う）, Emi.
Hi, I'm Emi, not Amy（エイミィ）, but E-mi（エミ）.
のようなちょっとこだわった自己紹介の仕方もあります。