英語の文法について教えてください

that と with はつながっていません。with から leaders までは、挿入句です。that の後にコンマがあれば分かりやすいのでしょうが、使わないこともあります。

I believe that, with my brother’s help, I was able to finish my homework.

ご質問の文は、上の文と同じ形です。

We believe that, with the proper help and support from our senior project leaders, less experienced staff can quickly develop a deep understanding of the design process.

ご質問から外れますが、コンマ (,) の後にはスペースを一つ入れます。