訳、違いはなんですか？ の意味は？

燃えるという意味ではどちらも変わりないですが、Burn upが瞬間的にぱっと燃え上がる感じなので、口語では怒るという意味でも使われたりします。
一方でBurn outは出し尽くして燃えきる感じのイメージなので、精神的に疲労困憊といった意味合いでも使われます。

最後のひとかけらまで燃え尽きるというのが、力を出し尽くして疲労困憊、という精神的なものだとしたら、Burn outがいいかもしれません。