論理的に説明できるのでしょうか。

Any を主語に使うときには、否定文にはなりません。肯定文、疑問文なら可能です。お気持ちは分かりますが、なぜそうなのかと考えることに、価値はありません。それは言語学の先生にお任せしましょう。日本語にしても英語にしても、プログラミング言語ではありませんから、非効率的、非論理的な面があるのは自然なことです。子供のように「こう言うのだ」とリラックスして、真似をしながら練習するのが近道です。

メールでもお答えします。
kevin@musicolingo.com

結論から言うと、不自然だからだと思います。

日本語と英語は語順が違うので、つい後ろから翻訳してしまう癖があるかもしれませんが、普段英語を使っている人は、語順通りに言葉を理解しています。

Any man /could /solve /the problem./ の場合
どんな人でも/できる/解くことを/その問題を
っといった感じです。

Any manはどんな人でも～ なので、これを聞いた人はあ、この文は肯定文なんだなって考えます。
しかしここで、後ろにCould not/できないが来ると、あれ、否定文なの？どっちの意味なの？と困惑してしまうのです。

なので、否定で言いたい時は、最初からNoを入れ、これから話すのは否定文ですよ～っと教えてあげるわけです。not any～の場合は、先に否定文だよと教えてくれているので、混乱しないのです。