5th は「５日」ですか？！

はい。この文の場合は「５日」という意味です。

英語圏では日付を言う際に、順番を表す数字の形（first, second, ... , fifth, ...）を使います。
例えば「６月５日」は "June five" とは読まずに "June fifth" あるいは "the fifth of June" と読みます。
この文の場合、"the fifth of June" の June が every month に変わっているので、「毎月の５日」という意味になります。

［補足］
5th のおおもとの意味は「５番目」です。そこから派生して「５日」「５年生（5th grade の省略形）」
「５番通り・５番街（5th Avenue や 5th Street の省略形）」という意味もあります。
この文では、直後に of every month と続いているため、日付のことを話していることがわかり、
「５日」と判断できます。