回答
ネイティブの方の回答：どっちも同じ
英語の先生の回答 ：at と前置詞がつく方が、後の言葉を強調している。
基本同じ意味なので、そんなに気にすることないと思います。ちなみに、蘭 霧 さんのおっしゃる通り、基本的に stay は自動詞として使われますので、stay at home を使うのが無難だと思います。
【参考】ジーニアス英和辞典で stay の意味を調べてみると：
ー[動](～s/-z/;～ed or《古》staid/stéid/; ～・ing)
ー[自]
❶〈人などが〉(場所に) とどまる、とどまっている、いる
とどまって～する
❷〈人などが〉…の(状態の)ままでいる[ある]、…の状態を保つ
❸〈人が〉 …〈場所〉に滞在する、泊まる
…〈人〉の家に泊まる、滞在する
〔…に〕住む、居を構える
❹[命令文で] 動くな、待て
ちょっと待って
❺(競争などで)〔相手に〕抜かれずにもちこたえる、遅れないようについていく
❻〔トランプ〕(ポーカーで)賭け金を上げずに勝負する
ー[他]
❶〈期間〉を通して滞在する
❷ (困難にもめげず)…を最後まで仕上げる
❸〈執行・裁定など〉を延期する、猶予する
ー[名](複 ～s/-z/)
❶〔…での〕滞在、滞在期間
❷ (執行などの) 延期、猶予、(訴訟手続きの) 停止
こう見ると、stay at home の方が自然なのかな？
厳密に言えばstayは自動詞ですので、
stay＋前置詞＋目的語で、stay at homeになります。
(homeを名詞とすれば at homeで家に という意味です)
stay＋副詞でstay homeになります。
(副詞homeで、家に という意味です)
I will stay (at)home tomorrow (genius英和)
homeの項目を見ると、
主に米 stay homeで在宅して
主に英 stay at home で在宅して となっています。
どちらも意味は同じです
ちなみに、
stay at home order でアメリカでは、外出禁止令と言う意味があります。
これは、stay at home で形容詞 在宅の～
という意味があるからです。
参照
https://kiwi-english.net/36566