There is no more tissue の意味は？

お母様には恐縮ですが、あなたの理解が正しいです。

この「tissue」は、数えられる名詞です。複数形は「tissues」です。ティッシュは一枚ではなくて、複数のティッシュをイメージすることが多いので、複数形の方が自然に感じられます。

There is no more tissue.
ティッシュがなくなった。

There are no more tissues.
ティッシュがなくなった。

We’ve run out of tissues.
ティッシュが切れた。

I don’t need a tissue anymore.
私はもうティッシュはいらない（前は一枚必要だったけど）。

I don’t need tissues anymore.
私はもうティッシュはいらない（前は何枚か必要だったけど）。

ちなみに、英語の「tissue paper」は、包装に使う柔らかい紙のことなので、「tissue」とは区別されています。