回答
英語の文は、最初からその語順を追いながら、素直に読むのが一番です。
前文からの文の流れで文脈を読み取りながら、最初から語順を追って素直に読めば、If the cutting hurt, は「もしそのカットが痛みを伴ったとしたら」という副詞節と読むのが自然でしょう。
I was cut in a special way to give me many facets. If the cutting hurt, I can't remember because that part of my memory was cut off.
→ 私という存在は、独特なカットでいくつもの面を持ってできている。もしそのカットが痛みを伴ったとしても、その部分の私の記憶が切り落とされているので、私には記憶がない。
大切なのは、if the cutting hurt は副詞節なので、動詞の目的語として作用しているわけではなく、従って動詞 remember は他動詞ではなく目的語を必要としない自動詞、つまり「記憶しておく、忘れずに覚えておく」という意味になるということです。
これを if the cutting hurt が動詞 remember の目的語としての名詞節（つまり他動詞としての remember の目的語）で、それをわざわざ前に持ち出している、という解釈をするのであれば、
→ 私という存在は、独特なカットでいくつもの面を持ってできている。そのカットが痛みを伴ったかどうかについては、その部分の私の記憶が切り落とされているので、私にはそれを思い出すことができない。
と解釈することは不可能ではないでしょう。
しかし、これを書いた人が if 〜の節を目的語「〜かどうか」なのにわざわざ前に出すことでそれが副詞節「もし〜であれば」と誤解してしまうことをなぜ敢えてやるのか、という疑問が残りますし、そうやって前に出てきているう if節をわざわざ目的語が前に出されているという読み方も、とても不自然だと思います。
また、この解釈だと動詞 remember が「〜を思い出す」ということになりますから、この文が「痛みを伴ったとしてもその記憶がない」ということではなく「痛みを伴ったかどうかそれを思い出すことができない」という意味になり、文脈的にも変になります。
丁寧なご返答をありがとうございます。
Hiraganaさん、私はjeblioさんの言うようにこの文はI can't remember if the cutting hurtであり、if the cutting hurt は名詞節で、 rememberの目的語であるのかなと考えておりましたのでこの順番に混乱していたわけです。
if the cutting hurt「痛かったかどうか」だと解釈しているのですが、
名詞節は「かどうか」、副詞節は「もし〜ならば」という風に機械的に覚えていたのですがそうならないケースもあるということでしょうか。
それとも私の解釈が間違っているのでしょうか。
ご教授いただけると幸いです。
この文中の If the cutting hurt, は、名詞節ではなく、副詞節です。なので、通常はこの文のように文頭にもってきます。むしろ、この文章の場合、
I can't remember because that part of my memory was cut off, If the cutting hurt. と後ろに置くと、文の意味が非常にわかりにくくなります。
if 節が名詞節になるのは、
I don't know if we can make it to the station by 5pm.
というふうに、文の目的語としてif節を使うときです。
こういう場合は、文の目的語を文頭に持ってくることができないのと同じ理由で、目的語の働きをしている名詞節であるif節を文頭に持ってくることができない、ということです。
もっとも、I want coffee now. を Coffee I want, now. とか言うことができるように、
If we can make it to the station by 5pm, I don't know. と絶対に言えないということはないでしょうが、読むとわかるように、コンテクスト（文脈）に頼らないとこれが「5時までに間に合うのかどうか」という名詞節ではなく「もし5時までに間に合うのなら」という副詞節として受け取られる可能性が非常に高いので、非常にわかりにくい文になってしまいます。そういうことで、名詞節のif節は文頭にはもってこないほうがいいよ、と言っているわけです。
ifの名詞節って何だろう？と思ってググってわかりました。
要は
if it rains, I'll stay home.
のように「もしも〜だったら」という条件を表すifではなくて
I don't know if he'll come.
のように「〜かどうか」というifのことなんですね？
ご質問のif節は確かに
I can't remember if the cutting hurt
（カッティングが痛かったかどうか覚えてない）
ということなので「〜かどうか」という意味で、rememberの目的語なので、
普通は文頭にはあまり来ないですが、
英語はけっこうフレキシブルなので
この部分を強調したいがために、文頭に持ってきたのでしょうね。