https://qa.weblio.jp/with+the+door+closing-74733
について
The hanger does not interfere with the door closing.
We have an issue with the door closing.
withの後は、動名詞の名詞的用法で、
自動詞closeの動名詞(現在分詞)closingは閉まること
the doorが動名詞の意味上の主語 で、
with the door('s) closing という事でしょうか?