そうだ！ を英語に訳すと？

yes

なるほど。ありがとうございます。

この独り言の「しよう」は人を誘っているわけではないので、Let’s は使えません。
こうしようと今決めたことを意味する、I will〜が使えます。

OK, I’ll study English.
Right, I'll go to Kyoto.

などになります。