クッキーボックス を英語に訳すと？

どちらもあり得ますが、一般的な言い方は
cookie box
のほうです。これは、物理的にひとつひとつ数えられる cookies の箱、というよりも、cookie というものを入れるための箱、cookie というものが入っている箱、ということです。

cookies box と言うと、これはつまり a box of cookies だと言っているわけで、実際に複数の cookies が入っている箱、ということになります。