所有格が必要なのか？helpが必要なのか教えてください。

Working after retirement can help us maintain both physical and mental health.

とおっしゃりたいのだと思うのですが、いかがでしょう。

(1) 単数扱いです。
(2) help は必要です。
(3) 所有格は要りません。

What で始まる主語を使うとき、それを単数とするのか、複数とするのかは、述語が単数か複数かによります。ご質問の文の場合、行為なので単数です。

What you will need is a piece of paper.

What you will need are steel-toe shoes.

ご質問の文では、can を外して helps としても構いません。

所有格 (their/our) が必要かどうかについては、この場合、一般的なことを主張しているので（特定の人たちではないので）無くても構いません。

日本語で一般的に「人、人間」というのを people と書かれたのだと思いますが、論文や法的文書でない限り、you や us を使うのが自然です。

Peace of mind は、英語とは関係なく、どうかと思います。働くことは課題があるということですから、心の平安を得られるものではないですよね。

いまのご質問では、英作文で何を言いたいのかがわかりません。英作文で言いたい文章をまず日本語で作ってみて、これを英語でどう表現するか、ということについて「定年後に働くこと」を主節にしたい場合はどうすれば良いかも含めて英作文について説明や意見を求めれば、的確な説明や意見が得られると思います。

質問者です。回答ありがとうございます。
間違っている文章であるということはわかったのですが、「定年後に働くこと」を主節にしたい場合はどうすれば良いのでしょうか？特にwhatにこだわっているわけではありません。

最初に、動詞の help は後に動詞の原型（原型不定詞）をともなって、〜することを助ける、というふうに使えます。

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まず、挙げられているものは、英語の sentence として成り立っていません。
What people working after their retirement can (help) keep their good health and peace of their mind
これは文を成立さえる主語と動詞の組み合わせがありませんので、ただの節 clause であり、文 sentence として成り立っていません。
わかりやすくするために people working after their retirement を they に置き換えてみると
What they can help keep their good health and peace of their mind
となりますので、
they = people working after their retirement が自分の good health や peace of mind をkeep することをhelpできるところのもの
ということになり、what の下はぜんぶwhatを修飾している部分なので、文として主語のwhat の動詞がなく、文としては成り立ちません（全体が主節となって、この後に動詞があってそれがどうこうということが続くんだな、と思わせる）。
例えば、
What people working after their retirement can (help) keep their good health and peace of their mind might cost a lot of money.
つまり、
people working after their retirement が自分の good health や peace of mind をkeep することをhelpできるところのものは cost a lot of money かもしれない。
という文の主節となる、ということです。

これが people working after their retirement の good health や peace of mind をkeep するために help するものは What？
という質問文なのであれば、
What can help people working after their retirement keep their good health and peace of their mind? という語順の質問文になります。
この文章の主語は what、動詞は help です。
（help 人 原型不定詞 ＝ 人が何かするのを手伝う）
keep 以外は何をhelp するのか、という部分なので、keep はこの文自体の主語に対する動詞ではありません。

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どちらにしても、
1 can help の主語はpeople（複数）ですので、can がなくても動詞はhelp で、helps とはなりません。
2 help は必要です。help がなければ、この節すら成り立ちません。
What people working after their retirement can keep their good health and peace of their mind
they = people working after their retirement と置き換えると
What they can keep their good health and peace of their mind
となりますが、What と言っている部分がすでにtheir good health and peace of their mind とわかっていますので、keep の目的語がダブっているのでおかしくなります。

3 主節をworking after retirement とすることはできません。主節の「節」clause は、文章 sentence（主語と動詞の組み合わせ）の中にさらに存在する主語と動詞の組み合わせのことですが、working after retirement には主語と動詞の組み合わせがありません。
their が表しているのは people です。ですので、Peopel (who are working after retirement) keep THEIR good health となるわけです。