回答
こんにちは。
ご存知だとは思いますが、肌の色についての質問は、差別意識につながっているので、英語で何というかということ以前に、実際に相手に向かって質問するのはとても難しいですし、差別的で教養と人権意識に欠く大変失礼な質問だとされています。
白人（例えば My roommate is white.）黒人（They are the best black singers of all times.）という肌の色を表現することばが英語にはありますが、Are you white? Are you black? などという愚かな質問を誰かに直接するような人は、幸いなことに私の身の回りには存在しません。
相手に直接尋ねる必要がどうしてもあるのであれば、このような失礼な尋ね方を少し客観的にして、
白人の場合は、Are you caucasian?（コゥケィジャン、のように発音します）という聞き方も可能かもしれませんが、言い換えているだけで聞いていることは同じなので、やはり失礼な質問です。
黒人で相手がアメリカ人とわかっている場合にのみ、Are you African American? という聞き方もあるとは思いますが、同じく「それを死ってどうするんだ」という意味で、失礼な質問であることに変わりありません。黒人について、その他の英語圏でどのような聞き方が可能なのかは知りません。African Canadian というのも聞いたことはありますし、黒人であることを誇りに思う人が自らを black British だと名乗るのを聞いたこともありますが、どちらにしても相手に尋ねることができるものではありません。
これだけこねくり回して説明しなければいけないくらい、「あなたは白人ですか？」「あなたは黒人ですか？」という質問が、それを聞いて相手の価値や身分などを判断しようとする差別的な魂胆があるという意味で、非常に失礼な質問だ、ということです。
これを書いていて背筋が寒くなるくらい、失礼な質問なので、あなたが人種差別者でない限りは、絶対にこういう質問はしない方がいいと思います。
もし相当親しくなって、肌の色ではなくて、その人の身の上を知りたい、ということであれば、例えば、
Did you grow up here?
Where did your family come from?
などとその人の肌の色などではなくて、その人や家族のについての事実を尋ねるようにすれば、差別的で失礼な感じが薄らぐと思います。
よくありますが、アジア人として英語圏の国に暮らしていて、
Where are you from?
という質問をされます。これは、どこで育ったのか、つまり何人か？と聞いています。
非白人は差別されることがあるので、常に「どこそこ出身」というレッテルを貼られます。
しかし、白人は差別されることがないので、「アメリカ人」「オーストラリア人」として通用してしまう、というところに、差別構造が現れています。
移民の多い街などでは、肌の色や出身など、そんなことをいちいち気にして、何人だからこう接しようなどという考えは差別的で失礼だというマナーがありますので、肌の色と並んで、その人が進んで話題にしないか、その人の出身が明白でない限りは、興味本位では絶対に聞かない質問とされています。