But I made a mistake... を英語に訳すと？

２通り考えられます。どちらが正しいのかは文脈や状況で判断します。

しかし私は夏の間働かなかったために、ある過ちを犯しました。

しかし私は夏の間働かなかったという過ちを犯しました。

後者は直訳ではありませんが、こういう意味で使われることがよくあります。

not working over the summer というところは、おっしゃる通り「夏の間働かないこと」ということだと思います。

I made a mistake by ~ing というところは、〜するという失敗を犯してしまった、という意味だと思いますので、

日本語の役に自信はありませんが、夏の間働かないという失敗を犯してしまった。という意味になると思います。

想像ですが、例えば学生などで、働いて収入を得ることができる期間が夏しかないとわかっていながら、夏に働かず収入を得ずに遊んでしまったので、結果として生活費や学費が足りなくなってしまって、あー夏に働かなかったのは失敗だったなーって後悔しているような感じかな、と思います。