回答
to不定詞をご存知でしょうか。ご存じでなかったら、下へスクロールして説明を読んでいただくとよいかもしれません。
まず to には（本質的には同じですが）２つの用法がありますよね。
❶方向性・目的を表す
→ I will go to the hospital tomorrow.
❷ to不定詞をつくる
→ I study English to pass the exam.
そして、I didn't mean to offend her. の to はその❷にあたりますよね。なぜなら、mean ＝「意味する」に方向性はないから（もっと文法的に言うと mean は他動詞です、よってこの to が to不定詞の(名詞的)用法でなければならないから）です。
ですから、この to は ❷ to不定詞の用法で使われるので、to の後は必ず動詞になるのです。
回りくどく書きましたが、「mean のあとには名詞または to不定詞しかこない」ということが分かればいいのではと思います。
【to不定詞とは何か】
例えば、「走ることは楽しい」という文を英訳したいとします。このとき、
Run is fun.
としてはいけないということがわかりますか。主語は必ず名詞でなければならない（または動詞が２個ある）からです。英語は、主語・述語・目的語・・・ に入る単語の品詞を重要視するのです（日本語のように助詞がないため、それぞれの単語のつながりがつかみにくくそれぞれの単語の役割をはっきりさせるためです。五文型もそういう理由で生まれた文法用語です）。
でも、「走ること」を意味する名詞はない。こんなときに、「動詞の名詞化」ができたらいいと思いませんか。
そこで生まれたのが、to不定詞です。これを使えば、動詞を名詞だけでなく形容詞や副詞といった形に変形することができるのです。
to＋動詞 → 動詞の〈名詞化・形容詞化・副詞化〉
動詞の品詞を変えるということです。
＊ところで、to run を日本語に訳すことができない理由がわかりますか。これは run の to不定詞ですが、名詞化しているのか形容詞化しているのか副詞化しているのかがこれだけではわからないからです。３つの訳が存在します。
でも、to run が文章の中にいるときは話が別です。そのときは to不定詞が何の品詞として使われているのかがわかるからです。このように、文章に入るまで訳が不定だから、名前が「to不定詞」というのです。
文法的に言うと、to不定詞による動詞の
・名詞化 → to不定詞の名詞的用法
・形容詞化 → to不定詞の形容詞的用法
・副詞化 → to不定詞の副詞的用法
といいます。
というのが to不定詞です。I didn't mean to offend her. という文の場合は、to不定詞の名詞的用法です。mean の後には名詞が来ますから。
ということで、上にスクロールして本文をお読みください。
いかがでしょうか。