Machine Safety を英語に訳すと？

have + 人 + 動詞の原型 で、人に〜させる、という意味になります。

We had an employee put their hand in harm's way...
私たちはある一人の従業員にその手を危険な場所（in harm's way）に置かせてしまった。

while 以下は付け足しです。
... while squaring up the fence on a bandsaw.
糸のこ機の補助具（フェンス）を直角に直そうとして


An employee put their hand in harm's way... と言ってもいいのですが、そう言うとそれはその従業員がやった過失、という言い方になります。

雇用者は従業員の安全を守る義務があるので、こういうヒヤリハット的なことがあった時に、主語を従業員にせず、私たちの過失で、という責任をはっきりさせるために、使役動詞を使っています。

使役動詞の have は、誰かに故意に何かを「させる」というふうに使うことが多いですが、このように責任の所在をはっきりさせるために「〜させる」というふうに使うこともあります。