She　started　to　cry　と　She　started　crying の意味は？

startという動詞は不定詞(to cry)も動名詞(crying)もどちらも取れるので
ほとんど同じ意味です。

強いて言えば、ふつう、不定詞はこれからすること、動名詞はすでに行われていることを指すものなので、微妙な差はあると思います。
started to cryというと、泣き始めたということに焦点を置いていてすぐ泣き止んだかもしれない。
started cryingというと、泣き始めて、そして泣き続けている感じがします。

一般的な「彼女は泣き出した」は
She started crying.

一方、
She started to cry.
は、直訳すると「彼女は泣くために(何かを)始めた」という意味になります。