Three quarters of the clauses ～ の意味は？

a quarter = 4分の1
three quarters = 4分の3

clause = 節（文法の、文章の中にある主語と動詞の組み合わせ）

Three quarters of the clauses we use in everyday conversation が主語です。
つまり「日常の会話で私たちが使う節の4分の3が〜」というのが主語です。

begin with ~ / 〜で始まる。

〜のところは、just a pronoun or a very short noun phrase.
phrase = 句です。

Only ~ do we encounter... のところですが、これは構文です。
Only 〜して主語が動詞する、という構文です。
この構文の特徴は、主語と動詞の順番が逆転することで、ふだんは一般動詞についているけど隠れていて疑問文や否定文を作るときに出てくる助動詞do が主語の前に出てきています。

〜のところは as speech becomes more formal and subject matter more intricate
ですが、
接続詞 as が「〜しつつ」とか「〜するにつれ」「〜すると」などの意味で、この節の中に2つのことが言われています。
speech becomes more formal and
subject matter (becomes) more intricate
2つめの動詞 becomes は重複しているので省略されています。（書き言葉の英文はこういった同じ単語の重複を嫌うので、よく省略されますから、読む時はそれを察知できることが大切です。）
ちなみにここで出てくる speech は、スピーチするのスピーチではなく、文法用語の話法のことです。

和訳はあまり得意じゃないですが、
日常の会話で私たちが使う節の4分の3が代名詞や短い名詞句で始まっている。
話法がよりフォーマルになり主題が複雑になるにつれ、名詞の部分がより長くなることを私たちは目にする。
みたいな意味です。