local grown vegetablesとlocally grown vegetables を英語に訳すと？

local は形容詞なので、形容しているものは名詞が期待されます。
local vegetables であれば違和感はありません。
local grown vegetables、というと、local vetegable でかつそれが grown vegetables である、と言っていることになって、「grown vegetables ってなに？」ということになって、すこし変なことになりますが、「ああきっと localLY grown vegetables のことを言っているんだな」という程度に流してもらえるという意味で通じるとは思います。
grown だけを形容詞で使うと He is a grown man. のように「成長しきった」という意味になるので、「成長しきった野菜」みたいになって変に聞こえます。grown のやくわりをはっきりさせるために、locally-grown のようにハイフンでつなぐこともあります。