local grown vegetablesとlocally grown vegetables を英語に訳すと？

「local grown vegetables」でも通じるかどうかという質問の答えは、「通じる」です。しかし、それは「locally grown vegetables」 のことだと、相手が親切に解釈してくれるからであって、本当は変です。

local grown vegetables
= local, grown vegetables
= local and grown vegetables

「local」と「grown」が対等に「vegetables」を修飾しています。つまり「その土地の、かつ栽培された野菜」です。野生の植物から摘んだ野菜ではなくて、栽培された野菜のことです。しかし、現代社会において、私たちが口にする野菜は、栽培された野菜です。そのため、「grown vegetables」という表現を使うことはありません。