preventの例文 の意味は？

この一文だけで判断するとすれば、his = the doctor と理解するのが自然だと思います。

ちなみに、最後のところは正しくは taking on new patientS. と複数形になる必要があります。

意味はほぼおっしゃる通りですが、
「全症例数」のせいで、というよりは、その医者が抱えることができる担当数（ケースロード）が満杯（フル）になってしまったので、その医者は新規患者をとれなかった。ということだと思います。