回答
地域によって違いがあるかもしれませんが、私が住んでいる地域では、
shopping centre という名称はほとんど使われていませんが、shopping mall とほぼ同じ意味で通じると思います。どちらも、shopping centre や shopping mall では、ショッピングセンターやモールを運営管理する会社があって、その会社と出店契約をしたそれぞれの店主が店を構えています。同業他社（ライバル）は入れないようにしていると思いますので、ショッピングセンターやモールを運営管理する会社によってどんなお店が入るかが分かれたり選ばれたりして、系列のようになっているかもしれません。お客からすると、ショッピングセンターやモールに行くと、店主の違ういろんなお店が入っているので、利便性があります。
department store は、日本でもあるデパートのことで、デパートの運営会社が建物を所有してその中で売るものによって売り場（department）を設けますが、ショッピングセンターやモールと違って、デパートの場合はデパートの運営会社が直接品物やサービスを仕入れてお客様に提供しますので、お客様はデパートから直接いろいろなものを買うことになります（食品、化粧品、服など、場合によってはブランドが出店している場合もあります）。ショッピングセンターやモールと比べると、デパート自体がブランド化していて、ある水準や傾向の商品やサービスが提供されているという安心感があります。
supermarket は、昔は小規模の grocery store（食料品店）として商いをしていたものが、規模を大きくしてお客様が自分で手に取って商品を選んでレジで精算するというスタイルにしたものです。supermarket は大抵の場合扱う商品は食料品が中心ですが、規模の大きなお店では食料品以外にも医薬品コーナー（pharmacy/health section）や日用品コーナー（household section）などがあります。日本のスーパーと同じです。
日本やアジアの国々では convenience store コンビニがとても発達しているので、スーパーに行かなくても食料品が手に入るようになっていますが、英語圏の国では convenience store というと街角にあるたばこ屋さん程度のお店を指し、買えるものの種類もたばこ、お菓子、飲料程度に限られています（美味しいお惣菜とかは全く売っていません）。corner store と呼ばれることもあります。最近では英語圏の大都市などで、日本やアジアの国々で成功しているコンビニと同じように小規模スーパーのような店舗が出来てきているほか、drugstore が食料品などを売り出したりして日本やアジアの国々のコンビニの役割を果たしつつあります。現状では英語で convenience store というと、日本やアジアの国々で一般的な「コンビニ」というよりは、たばこ屋さんに近いものを指すと思います。
I usually buy hair care products at the 〇〇〇〇. と言う際に、上のどのタイプの商業施設・店舗も使えますが、shopping centre や shopping mall はバラバラのお店が入った商業施設であるのに対して、department store や supermarket、convenience store などは、そのお店から直接物を買うことになるという違いがあります。