you'll end up losing faceは動名詞？

元の文は
Keep your word; otherwise you'll end up (by) losing face. です。
この by を省略し
Keep your word; otherwise you'll end up losing face. となっています。
辞書に end up by doing 「～することで終わる」のとき by は省略できると書いてあります。

この by は前置詞ですから、後には名詞が来ないといけません。
よって lose ではなく losing 動名詞(名詞)なのです。
直訳：約束を守りなさい。さもないとあなたは恥をかくことで終わりますよ。
意訳：約束を守りなさい。さもないと恥をかくことになりますよ。


＞loseがingになっている理由がわかりません。未来のことに動名詞が使えるのですか？

助動詞 will が指定しているのは動詞の end であって losing ではありません。
end はwill を受けて原形となってます。
losing は省略されている前置詞 by の目的語になっているのです。

end upは後ろに動名詞がくる、という語法です

loseだと間違いです