"we both" と　"both of us" の違い の意味は？

意味上の違いはありません。でも、文にするときに、we both で始まると、その both が前の we を修飾しているのか、後に来る動詞を修飾しているのか、少し分かりにくい場合があります。

例えば、we は、私と Ashley のチームだとします。

We both cooked and did the dishes.

この文は、次の２通りの解釈が可能です。

Both of us cooked and did the dishes.
私と Ashley の２人ともが、料理も皿洗いもした。

We cooked and also did the dishes.
私たちはチームとして、料理と皿洗いの両方をしたのだけれども、実は私が料理をして、Ashley が皿洗いをした。その役割分担は重要ではない。

つまり、状況によるということです。we both が both of us と同じだということがはっきり相手に分かるような状況であれば、we both でまったく問題ありません。

A: What are you guys doing now?
B: We both are watching a movie and eating popcorn.