サークル名にEnjoyは使えますか？

英語的にどうか、ということであれば、Enjoy ということばをグループ名として使うのは英語的に違和感があります。
その理由は、おっしゃるとおり enjoy ということばが動詞で「楽しむ」という意味のことばなので、名称として使うにはあまりそぐわない感じがあるからです。
動詞の単語を団体名称に使うことができない、ということではないのですが、enjoy ということばは日常頻繁に使われているので、そのことばを見た時にそれが団体の名称には（英語的には）見えない、ということです。
グループの名前なので、どんな意図でどんな名前をつけてもよいとは思いますが、英語的に無難な名称にしたいということであれば、名詞のことばを探して使うほうがいいかもしれません。