Everything とwhatever について

Tom was asked to write down whatever come to mind.

Tom was asked to write down (名詞).
の (名詞) の部分が whatever comes to mind という名詞節になっています。
この名詞節の主語は whatever で、この whatever は節の中で主語であると同時に関係代名詞としても使われています。
whatever の代わりに関係代名詞 what を使うと、
Tom was asked to write down (what comes to mind). となって、この名詞節の意味は「思いついたこと」となります。
この what comes to mind の部分は、つまり
something that comes to mind ということです。

原文では whatEVER comes to mind と言っているので、ただ「思いついたこと」ではなく、「思いついたこと＜ならなんでも＞」という意味になります。
つまり、anything that comes to mind ということです。

whatever と everything の違いは、意味の違いだけでなく、
文法的には
・whatever は節の中で主語として働きながら関係代名詞として節を主文とつなぐ働きをする。
・everything は節の中で主語として働くが、関係代名詞としての働きがないので、節を主文とつなぐことができない。
という違いがあります。

everything という名詞には関係代名詞の働きがないので、everything を使うのであれば、
Tom was asked to write down everything THAT comes to mind.
など、関係代名詞を補う必要があります。

✗Tom was asked to write down everything comes to mind.
としてしまうと、everything が主文の目的語なのか節の主語なのかがダブってしまうので、英語の文として構文が成り立ちませんから、意味がわからなくなります。