We would cry an ocean.

イメージとしては、We would cry a lot. を詩的にしたのが We would cry an ocean. だと思います。原曲では「僕らは涙で海ができるくらい (たくさん) 泣くだろう」と言いたいのではないでしょうか。
それに対して、like や as を使ってしまいますと「どのくらい泣くのか」ではなく「どんな風に泣くのか」になってしまいます。We would cry like an ocean. や We would cry as an ocean would. の訳は「海が泣くように僕たちは泣くだろう」となります。