its

I don't think Japan needs to increase its defense budget.
私は日本がその（＝日本の）防衛予算を増額する必要があるとは思わない。
これは、its が Japan's ということの代名詞になっているので、日本が日本の防衛予算を、という特定をしています。

I don't think Japan needs to increase the defense budget.
私は日本がその（＝前述の、ある特定の）防衛予算を増額する必要があるとは思わない。
これはいけそうですが、厳密に the defense budget というのは、この文の前に出てきたところの defense budget ということになるので、必ずしも日本の防衛予算かどうかはわかりません。

I don't think Japan needs to increase a defense budget.
私は日本がある（特定しない）防衛予算を増額する必要があるとは思わない。
これは、特定のない、ある防衛予算を増額する、と言っているので、文法的に間違いではないですが、まるで防衛予算がそこいらにゴロゴロころがっていてそのどれでもいいから一つを、というニュアンスになるので、意味としてはおかしな文になります。