pay a visit とは

引用１
The word pay in "pay a visit" can imply some kind of urgency, need, obligation, or recompense.

引用２
pay という英単語を、起源を遡ってラテン語までいくと、相手を喜ばせるとか、平和にするとか、満足させるとか、そういう意味を元々は有していたようです。有形であれ無形であれ、何かを 「与える」 ことが平和や満足につながる。
ちなみに peace （平和） も、起源を遡れば pay と同じく pax （平和） というラテン語に行き着くようです。対価を払わなければ 「平和」 ではいられませんから、平和を望むなら 「支払い」 をします。

さて、pay a visit という言い方を見ると、「訪問すること」 を相手に 「与える」 という形になっています。ここでは 「移動」 するのは自分の体であるわけです。

pay a visit はイディオムです。深く考えずに、そう言うのだと覚えてしまいましょう。なぜ pay を使うかは、学者の先生方に任せましょう。