回答
こんにちは。
どちらも「うちにいなさい」という意味は同じで、現状のコロナウイルスの感染拡大防止の掛け声として両方が同じように使われていますね。私が住んでいるところでは圧倒的に「Stay Home」ですが、アメリカなどでは「Stay At Home」が使われていて、それが日本にも拡まっているようですね。
home という単語には、不可算名詞の「うち」という意味と、副詞の「うちで」という意味があります。
stay home では、動詞のstayを修飾する副詞として home が使われていて、うちで留まっていなさい、という意味です。
stay at home では、不可算名詞の home の前に前置詞 at があって、at home で「うちで」という意味になりますので、stay home と同じく、うちで留まっていなさい、という意味になります。
唯一違いがあるとすれば、at home というと、うちで、という意味の他に、くつろいで、おうちにいるような気分で安心して、という意味がありますので、stay at home というと、ただ物理的におうちにいてね、というだけではなくて、おうちでゆっくりくつろいでいてね、という意味も若干出るかもしれません。
どちらもほぼ全く同じ意味なので、ゴロやノリやリズムで使い分けているんだと思います。
ちなみに、home というと「家」と訳すことがあるのですが、home は物理的な家という建物（= house）のことではなくて、自分が住む場所、くつろげる場所や雰囲気、という意味ですので、不可算名詞で、日本語では「うち」という感じがぴったりだと思います。
また、本題と関係ないのですが、house というと、英語では厳密には一戸建ての家ということになり、分譲マンション（condominium）や賃貸集合住宅（apartment building）には house は使えませんが、home はどのような携帯のところでも、そこにある雰囲気や居心地のことですので、This is my home. と呼べるところであれば、どこでも「うち」になります。