that what

Do you know what he had for dinner？は間接疑問文と呼ばれるものです。
動詞の後に疑問詞svとすることで文の中に疑問文を入れることができる表現で、この表現を使う場合は疑問詞のみでthatは不要です。
この場合「あなたは彼が何を食べたか知っていますか？」という意味になります。

thatを使う場合は、
Do you know that 〜？で「あなたは〜(that以下の)ことを知っていますか？」という意味になります。このthatは接続詞なので、後にはS Vが続きます。