回答
Seijiさんこんにちは！
They go fishing. の fishing の品詞が何か、ということについてですが、これは動名詞です。"go gerund" などでググってみると、ばーっといっぱい例が出てくると思います。
一部の動詞が要求する動名詞（doing）については、不定詞（to do）と比較するのがわかりやすいと思います。
They go fishing. は、釣りという行為（動名詞）をしにいく、と言っています。
They go to fish. は、釣りをするという目的（不定詞）で（どこに行くとはいっていないけどどっかに）行く、と言っています。
They go to fish, not to chat!（あいつらは釣りをするために言ってるんであって、おしゃべりのためじゃないんだよ！）
go の他にも、enjoy, mind, prefer, like など、同じように動名詞を要求する動詞があります。
I enjoy watching movies at night. 私は夜に映画をみるという行為が好きです。
I enjoy to watch movies at night. 私は夜に映画をみるという目的で（何かを）エンジョイします。変な英語ですね。どうして変かっていうと、enjoy っていう動詞は他動詞としてしか使えない（つまり常に目的語を必要とする）からなんです。だから enjoy と聞くと「え、enjoy WHAT?」ってつっこみたくなるわけです。
ここで例えば I enjoy going home early to watch movies at night.とかにするんだったら、私は夜に映画を見るために早く家に帰るのが好きなんです。とかは言えますが、ここでも結局やっぱり動名詞のgoingに頼っていますね。
I don't mind helping you from time to time. 私は時々だったらあなたを手伝ってもいいよ。
I don't mind to help you from time to time. 私はあなたを時々手伝うっていう目的で（何かわかんないけど）気にしないよ。やっぱり変、だって何を気にしないのか言ってないから。mind WHAT? って聞きたくなりますよね。
I prefer staying home after work (to going out).私は仕事のあとは（出かけるよりかは）家にいたいほうなの。prefer A to B ってやつですね。A も B も両方名詞を求めますから、動名詞ってことですね。
I prefer to stay home after work (× to go out). 私は仕事のあとは家にいたいっていう目的で（何をか言ってないけど）そっちを好むの。文の内容として変です。なんで変かっていうと、enjoy と同じで、prefer は他動詞なので、必ず prefer WHAT に当たる目的語を欲しがるんですね。しかも目的語を抜かして（文として成立しませんがわざと）あとの to go out もここにつけると「to stay home after work to go out（出かけるっていう目的で仕事の後家にいる）」っていう変な文になってしまいますね。prefer が比較の際に to を欲しがるので、不定詞の to を連想させてしまってややこしいですね。prefer something か prefer -ing と覚えてしまいましょう。
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じゃあ何でこれが現在分詞じゃないかってことなんですが、現在分詞も -ing の形をとりますが、これは主文の動詞を進行形にしたりする際に主文の動詞を be -ing の形に変えるときに使うものだと了解しています。
主文が They fish. （彼らは釣りをする。）ということを進行形にするってことで They are fishING. とするのであれば、これは現在分詞だってことになると思います。
もうちょっとつっこんで考えると、動詞の -ing 形を名詞的に使うんであれば動名詞、形容詞的に使うんであれば現在分詞、って言ってもいいかもしれません。
That crying baby over there is my son. あそこで泣いてる赤ちゃん、私の子です。の crying は 赤ちゃんを修飾してますから現在分詞。
Crying out loud in front of people is embarrassing. 人前で声を出して泣くのは恥ずかしい。の crying は泣くことっていう名詞的な使い方ですから動名詞。
じゃあ -ingの副詞的な使い方ってあるの？って考えたら、そういえばこんなふうに言うときって副詞的？と思いました。
He left the room, crying out. 彼は声を出して泣きながら部屋を去った。これって、分詞構文ですね。
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さて、この動名詞が第２文型の補語なの？ということですが、go fishing の fishing が動詞の go を補足 complement してるってことはそうだと思うんですが、それが第２文型、いわゆるＳＶＣのＣなのかっていうと、うーん、違うんじゃない？と思います。
っていうのは、ＳＶＣの場合、基本的にＣはＳについての補語ってことになってるからです。
いかがでしょうか。