なぜNever having lived away from homeに？

Never having lived away from home, the foreign exchange student will probably get homesick.

= As the foreign exchange student have never lived away from home, the foreign exchange student will probably get homesick.
ということです。
でもこれだと、主語がダブって英文の書き言葉としてはくどい文章ということになります。

英文の書き言葉では、反復を避けてキリッとさせることが好まれます。

そのために、主文の前についている As ~ の節の主語を省略して、この節を句にします。その際に、主語を失った動詞の部分を分詞（現在分詞または過去分詞）にします。こういう構文を分詞構文 participle clause といいます。

（As the foreign exchange student は省略） HavING never lived away from home, the foreign exchange student will probably get homesick.
でもよいですが、
分詞構文の部分が否定形の場合は、not/neverにあたる部分を分詞の前に持ってきます。

NEVER HavING lived away from home, the foreign exchange student will probably get homesick.

しゃべりことばでは、主語を省略したりするとわかりずらいのでくどくても繰り返したりしますが、英文の書き言葉では同じ名前や単語が繰り返されることは嫌われますので、そこを引き締めるために分詞構文は日常的によく使われますので、知っておくと便利だと思います。