不定詞の形容詞的用法

to不定詞の形容詞的用法にも実は4～5個のサブタイプがあります。

例
There are many difficulties to overcome.
He has no house to live in.

このようにto不定詞の内部で、なんらかの抜けている要素があるものが一般的ですね。これをタイプ1と呼ぶことにしましょう。

それとは異なるタイプ2があります。

例
I need some scissors to cut the paper.
The car trip took three hours, including a couple of stops to stretch our legs.

このタイプ2はタイプ1とは異なっていて、to不定詞の内部に抜けた要素は必要ありあません。タイプ2は「道具や場所の用途を説明する」という用法になります。

例
I need some scissors to cut the paper with.
The car trip took three hours, including a couple of stops to stretch our legs in.

このようにタイプ2には with/in を付加することができます。そうするともはやタイプ2ではなくタイプ1になります。『現代英文法講義』という文法書はタイプ2はタイプ1の前置詞を省略したものだと説明しています。

よって、a book to study math （タイプ1）でもOKだし、a book to study math with （タイプ1）でもOK ということになります。

しかし a house to live in の in は省略できません。これは専門的な説明になってしまいますが、この in は live の補部だから省略できないということになります。省略できるのは付加部となる with/in のみということになります。

おそらく、この答えは、a book to study math withでも、a book to study mathでも、基本的には正解、なんだと思います。ただ、日本の受験英語なら、withを省いたらいけないかも知れません。このへん難しいんですよね。例えば、live in やtalk aboutみたいに、フレーズ的な表現だと絶対性があるのですが、study withだとフレーズ的ではないので省略されても問題ないのです。日本の英語学習の問題だと、不定詞の形容詞的用法を学ばせるために無理矢理作られた文章があるのでなかなか判断が難しい。だって、a book to study mathなんていうわざわざ複雑な表現をせずに、英語ネイティヴならa math textbookと書くのが普通なんですから（苦笑）